§概念

欧拉通路: 通过图中每条边且只通过一次，并且经过每一顶点的通路；

欧拉回路: 通过图中每条边且只通过一次，并且经过每一顶点的回路；

欧拉环：图中经过每条边一次且仅一次的环；

欧拉路径：图中经过每条边一次且仅一次的路径；

欧拉图：有至少一个欧拉环的图；

半欧拉图：没有欧拉环，但有至少一条欧拉路径的图；

基图：对一个图而言把所有边视作无向边得到其基图，即将所有有向边变成无向边形成的无向图。

 

无向图

  设G是连通无向图，则称经过G的每条边一次并且仅一次的路径为欧拉通路；

 如果欧拉通路是回路（起点和终点是同一个顶点），则称此回路是欧拉回路；

  具有欧拉回路的无向图G成为欧拉图

 

有向图

（1）设D是有向图，D的基图连通，则称经过D的每条边一次并且仅有一次的有向路径为 有向欧拉通路

（2）如果有向欧拉通路是有向回路，则称此有向回路为  有向欧拉回路

（3）具有有向欧拉回路的图D称为有向欧拉图

 

 

定理

 无向图G存在欧拉通路的充要条件是：G为连通图，并且G仅有两个奇度结点（度数为奇数的顶点）或者无奇度结点。

推论

（1） 当G是仅有两个奇度结点的连通图时，G的欧拉通路必以此两个结点为端点；

（2）当G是无奇度结点的连通图时，G必有欧拉回路

（3）G为欧拉图（存在欧拉回路）的充分必要条件是  G为无奇度结点的连通图

 

（有向图） 定理

有向图D存在欧拉通路的充要条件是：D为有向图，D的基图连通，并且所有顶点的出度与入度相等；或者  除两个顶点外，其余顶点的出度与入度都相等，而这两个顶点中一个顶点的出度与入度之差为1，另一个顶点的出度与入度之差为-1.

推论

（1）当D除出、入度之差为1，-1的两个顶点之外，其余顶点的出度与入度相等时，D的有向欧拉通路必以出、入度之差为1的顶点作为始点，以出、入度之差为-1的顶点作为终点。

（2）当D的所有顶点的出、入度都相等时，D中存在有向欧拉回路。

（3）有向图D为有向欧拉图的充要条件是  D的基图为连通图，并且所有顶点的出、入度都相等。

 

 

欧拉回路的求解

两种方法：（1）DFS搜索  （Fleury）佛罗莱算法

（1）DFS搜索 思想求解欧拉回路的思路为：利用欧拉定理判断出一个图存在欧拉通路或欧拉回路后，选择一个正确的起始顶点，用DFS算法遍历所有的边（每条边只遍历一次），遇到走不通就回退。在搜索前进方向上将遍历过的边按顺序记录下来。这组边的排列就组成了一条欧拉通路或回路。

（2） （Fleury）佛罗莱算法

设G为一个无向欧拉图，求G中一条欧拉回路的算法如下：

（1） 任取G中一顶点v0，令P0=v0；

（2）假设沿Pi=v0e1v1e2v2......eivi走到顶点vi，按下面方法从E(G)-{e1,e2,...,ei}中选ei+1。

        ei+1与vi相关联

        除非无别的边可供选择，否则ei+1不应该是Gi=G-{e1,e2,...,ei}中的桥。

（3）当（2）不能再进行时算法停止。

        可以证明的是，当算法停止时，所得到的简单回路Pm=v0e1v1e2v2......emvm，（vm=v0）为G中一条欧拉回路。

 

 

加一道简单题  洛谷-1341（详情见图论杂题专题）

 

2017-10-20 13:57:14 Hathaway